Symmetries in covariant quantum mechanics


Saller, Dirk


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URL: http://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/33
URN: urn:nbn:de:bsz:180-madoc-335
Document Type: Doctoral dissertation
Year of publication: 2001
Publishing house: Universität Mannheim
Evaluator: Binz, Ernst
Date of oral examination: 25 May 2001
Publication language: English
Institution: School of Business Informatics and Mathematics > Mathematik (Binz Em)
Subject: 510 Mathematics
Classification: MSC: 53B35 53B50 70D05 70D10 70H33 ,
Subject headings (SWD): Relativitätsprinzip , Quantenmechanik
Individual keywords (German): Allgemeines Relativitätsprinzip , Galilei allgemein relativistische Quantenmechanik , Quantentheorie mit allgemeinem Relativitätsprinzip
Keywords (English): Principle of general relativity , Galilei general relativistic quantum mechanics , quantum theory with principle of general relativity
Abstract: The thesis is divided in two parts. In the first part of the thesis, I present an updated version of the theory of covariant quantum mechanics and of the associated classical background. This theory has originally been proposed by Jadczyk and Modugno and further developed in cooperation with other people. It provides a geometric model for quantum mechanics of a scalar and spin particle in a curved spacetime with absolute time equipped with a given classical gravitational and electromagnetic field. Starting from minimal axioms, this model yields in a covariant way the Schrödinger equation by means of a global Lagrangian formalism and the quantum operators associated with classical quantisable functions by means of classification of distinguished quantum vector fields. In the second part of the thesis, I investigate systematically the infinitesimal symmetries of the classical and quantum geometric structures. This part deals with the main original contributions of the thesis. Some results fit well-known facts of other mathematical models of quantum mechanics, but are derived by innovative procedures. Other results are completely new. The most important original contributions can be summarized by the following two statements: The quantum symmetries constitute Lie algebras, which are naturally isomorphic to subalgebras of the new classical Lie algebra of quantisable functions. Let me stress that this algebra is not a Poisson subalgebra. On the other hand, by means of the quantum Lagrangian formalism, we can associate a conserved quantum current with any element of a distinguished classical subalgebra. These results might be the prequantum source of the probabilistic interpretation of quantum mechanics.
Translation of the title: Symmetrien in kovarianter Quantenmechanik (German)
Translation of the abstract: Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil der Arbeit präsentiere ich eine aktuelle Version der Theorie der kovarianten Quantenmechanik und des klassischen Hintergrunds. Diese Theorie wurde ursprünglich von Jadczyk und Modugno vorgeschlagen und dann in Kooperation mit anderen Personen weiterentwickelt. Sie ist ein geometrisches Modell für die Quantenmechanik eines skalaren oder spin-tragenden Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit mit absoluter Zeit mit gegebenem klassischem gravitativen und elektromagnetischem Feld. Von ein paar Axiomen ausgehend, liefert die Theorie auf kovariantem Weg, über einen globalen Lagrange Formalismus, die Schrödinger Gleichung und die Quantenoperatoren, welche klassischen quantisierbaren Funktionen über die Klassifizierung ausgezeichneter Quantenvektorfelder zugeordnet sind. Im zweiten Teil der Arbeit untersuche ich systematisch die infinitesimalen Symmetrien der klassischen und der quantistischen geometrischen Struktur. Dieser Teil handelt von den wesentlichen originellen Beiträgen der Arbeit. Einige Ergebnisse spiegeln wohlbekannte Tatsachen aus anderen mathematischen Modellen der Quantenmechanik wider, werden aber mit neuartigen Techniken hergeleitet. Andere Ergebnisse sind vollständig neu. Die wichtigsten originellen Ergebnisse können mit Hilfe der folgenden Aussagen kurz beschrieben werden. Die Quantensymmetrien sind Lie Algebren, welche natürlich isomorph zu Unteralgebren der neuen klassischen Lie Algebra der quantisierbaren Funktionen sind. Ich möchte betonen, dass diese Algebra keine Poisson-Unteralgebra ist. Auf der anderen Seite kann man durch Verwendung des Quanten-Lagrange Formalismus zu jedem Element einer ausgezeichneten klassischen Unteralgebra einen erhaltenen Quantenstrom zuordnen. Diese Ergebnisse deuten auf einen Prequanten Ursprung der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik. (German)
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Saller, Dirk (2001) Symmetries in covariant quantum mechanics. Open Access [Doctoral dissertation]
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