On the isospectral problem of Fermi curves of two-dimensional doubly periodic Schrödinger operators

Simon, Tobias

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URL:	https://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/49037
URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-490370
Document Type:	Doctoral dissertation
Year of publication:	2018
Place of publication:	Mannheim
University:	Universität Mannheim
Evaluator:	Schmidt, Martin
Date of oral examination:	18 March 2019
Publication language:	English
Institution:	School of Business Informatics and Mathematics > Mathematik III (Schmidt, M. 2004-)
Subject:	510 Mathematics
Subject headings (SWD):	Mathematik , Schrödinger-Gleichung , Mathematische Physik
Keywords (English):	Mathematics , Schrödinger operator , Fermi curve , isospectral set
Abstract:	The aim of this thesis is to parameterize the isospectral set Iso(u0) for smooth Fermi curves of two-dimensional Schrödinger operators with doubly periodic real-valued L2- potential u0 defined on R2. This isospectral set is the set of all real-valued doubly periodic L2-potentials u whose Fermi curve F(u) equals the given Fermi curve F(u0). Our thesis essentially consists of two parts. The first part solves the isospectral problem asymptotically by investigating those part of the Fermi curve outside a sufficiently large compact set in C2. In this asymptotic setting, the so-called perturbed Fourier coefficients will serve as suitable coordinates for the potentials. We parameterize the asymptotic isospectral set by constructing a homeomorphism mapping it onto a topological space Iso~(u0), where Iso~(u0) can be explicitly determined. The second part of the thesis connects the asymptotic part with the so far neglected compact part of the Fermi curve. Under an additional boundedness assumption on Iso(u0), we show that Iso(u0) is homeomorphic to a Cartesian product Iso(u1)xIso~(u0), where u1 is a potential of finite type. For unbounded isospectral sets, we will show an analogous but weaker result. In the entire thesis, we use the so-called moduli m(u) in order to describe the isospectral sets. These moduli are l1-sequences. We finally show that each Fermi curve F(u) is uniquely determined by its moduli m(u). In particular, the moduli are invariants of the isospectral set.
Translation of the title:	Über das isospektrale Problem von Fermikurven zweidimensionaler doppeltperiodischer Schrödinger-Operatoren (German)
Translation of the abstract:	Das Ziel dieser Arbeit ist die Parametrisierung der Isospektralmenge Iso(u0) für glatte Fermikurven zweidimensionaler Schrödinger-Operatoren mit doppeltperiodischem auf R2 definiertem reellwertigem L2-Potential u0. Diese Isospektralmenge ist die Menge aller reellwertigen doppeltperiodischen L2-Potentiale u, deren Fermikurve F(u) gleich der gegebenen Kurve F(u0) ist. Unsere Arbeit besteht im Wesentlichen aus zwei Teilen. Der erste Teil löst das isospektrale Problem asymptotisch, indem man jenen Teil der Fermikurve außerhalb eines hinreichend großen Kompaktums in C2 untersucht. In diesem asymptotischen Szenario werden die so genannten gestörten Fourierkoeffizienten als geeignete Koordinaten für die Potentiale dienen. Wir parametrisieren die asymptotische Isospektralmenge, indem wir einen Homöomorphismus von ihr auf einen topologischen Raum Iso~(u0) konstruieren, wobei Iso~(u0) explizit bestimmt werden kann. Der zweite Teil der Arbeit verknüpft den asymptotischen Teil mit dem bisher vernachlässigten kompakten Teil der Fermikurve. Unter einer zusätzlichen Beschränktheitsvoraussetzung an Iso(u0) zeigen wir, dass Iso(u0) homöomorph zu einem kartesischen Produkt Iso(u1)xIso~(u0) ist, wobei u1 ein finite type Potential ist. Für unbeschränkte Isospektralmengen werden wir ein analoges, jedoch schwächeres Resultat zeigen. In der gesamten Arbeit benutzen wir die so genannten Moduli m(u), um die Isospektralmengen zu beschreiben. Diese Moduli sind l1-Folgen. Wir zeigen schließlich, dass jede Fermikurve F(u) eindeutig durch ihre Moduli m(u) bestimmt ist. Insbesondere sind die Moduli Invarianten der Isospektralmenge. (German)