Nonparametric statistics for scalar ergodic diffusion processes

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URL:	https://madoc.bib.uni-mannheim.de/53153
URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-531533
Document Type:	Doctoral dissertation
Year of publication:	2019
Place of publication:	Mannheim
University:	Universität Mannheim
Evaluator:	Strauch, Claudia
Date of oral examination:	10 December 2019
Publication language:	English
Institution:	School of Business Informatics and Mathematics > Probability Theory (Döring 2017-)
Subject:	510 Mathematics
Keywords (English):	ergodic diffusion , concentration of diffusions , empirical processes , exponential inequalities , adaptive estimation , minimax optimality , semi parametric efficiency
Abstract:	This thesis is directed towards a twofold aim concerning a statistical problem and its probabilistic foundations. We consider the question of estimating the drift and the invariant density for a large class of scalar, ergodic diffusion processes based on continuous observations in supremum-norm loss. Concentration inequalities and moment bounds or continuous time analogues of classical empirical processes driven by diffusions are provided. These serve as the central probabilistic device for the statistical analysis of the sup-norm risk. The unknown drift is supposed to belong to a nonparametric class of smooth functions of unknown order. We suggest an adaptive approach which allows to construct data driven drift estimators attaining minimax optimal sup-norm rates of convergence. In addition, we prove a Donsker theorem for the classical kernel estimator of the invariant density and establish its semiparametric efficiency. Finally, both results are combined to propose a fully data-driven bandwidth selection procedure which simultaneously yields both a rate-optimal drift estimator and an asymptotically efficient estimator of the invariant density of the diffusion. Crucial tool for our investigation are uniform exponential inequalities for empirical processes and related stochastic integrals driven by scalar, ergodic diffusion processes. Providing these probabilistic tools, we lay the foundation typically required for the study of sup-norm properties of estimation procedures for a large class of diffusion processes. The idea originates in the classical i.i.d. context where Talagrand-type concentration inequalities are a key device for the statistical sup-norm analysis. Aiming for a parallel substitute in the diffusion framework, we present a systematic, self-contained approach to such uniform concentration inequalities via martingale approximation and moment bounds obtained by the generic chaining method.
Translation of the title:	Nichtparametrische Statistik für ergodische skalare Diffusionsprozesse (German)
Translation of the abstract:	Diese Dissertation widmet sich zweierlei Zielen, die ein statistisches Problem und seine probabilistischen Grundlagen betreffen. Forschungsgegenstand ist die Schätzung des Drifts und der invarianten Dichte für eine große Klasse skalarer, ergodischer Diffusionsprozesse, basierend auf stetigen Beobachtungen, unter Berücksichtigung des Verlustes in Supremumsnorm. Es werden Konzentrationsungleichungen und Momentabschätzungen für Analoga von klassischen empirischen Prozessen in stetiger Zeit bereitgestellt. Diese stellen das zentrale probabilistische Hilfsmittel für die Analyse des Schätzrisikos in sup-Norm dar. Es wird angenommen, der unbekannte Drift gehöre zu einer nichtparametrischen Klasse glatter Funktionen unbekannter Ordnung. Ein adaptiver Ansatz zur Konstruktion datengetriebener Driftschätzer, die minimax optimale Konvergenzraten in sup-Norm erzielen, wird vorgeschlagen. Außerdem wird ein Donsker-Theorem für den klassischen Kernschätzer der invarianten Dichte und dessen semiparametrische Effizienz gezeigt. Schließlich werden beide Resultate zusammengeführt und ein rein datengetriebener Selektionsmechanismus für die Bandweite entwickelt, der simultan sowohl einen ratenoptimalen Driftschätzer als auch einen asymptotisch effizienten Schätzer für die invariante Dichte liefert. Essentielle Werkzeuge für die Untersuchung sind uniforme Exponentialungleichungen für empirische Prozesse und verwandte stochastische Integrale skalarer, ergodischer Diffusionsprozesse. Mit der Entwicklung dieser probabilistischen Hilfsmittel wird die Grundlage, welche üblicherweise für die Untersuchung der sup-Norm-Eigenschaften von Schätzverfahren für eine reiche Klasse von Diffusionsprozessen benötigt wird, geschaffen. Die Idee hat ihren Ursprung im klassischen i.i.d. Kontext, in dem Konzentrationsungleichungen vom Talagrand-Typus ein Schlüssel für die statistische Analyse in sup-Norm sind. Mit der Zielsetzung einen entsprechenden Ersatz im Diffusionskontext zu entwickeln, wird ein systematischer, in sich geschlossener Ansatz für solche uniformen Konzentrationsungleichungen präsentiert. Dieser beruht auf einer Martingalapproximation und Momentabschätzungen, die durch Anwendung der Generic Channing-Methode hergeleitet werden. (German)