Time-dependent effective one-particle equations for large interacting fermionic systems


Liew, Matthew


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URL: https://madoc.bib.uni-mannheim.de/59525
URN: urn:nbn:de:bsz:180-madoc-595251
Document Type: Doctoral dissertation
Year of publication Online: 2021
Place of publication: Mannheim
University: Universität Mannheim
Evaluator: Chen, Li
Date of oral examination: 1 December 2021
Publication language: English
Institution: School of Business Informatics and Mathematics > Mathematik IV (Chen 2014-)
License: CC BY 4.0 Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)
Subject: 510 Mathematics
Keywords (English): large fermionic system , Husimi measure , semiclassical scale , Schrödinger equation , Coulomb potential , Vlasov-Poisson equation , BBGKY method , Bogoliubov transformation
Abstract: In the quantum scale, dynamics of many-particles in a system are governed by Schrödinger's quantum systems. However, it is computationally costly to run a simulation if the system consists of a large quantity of particles, which is often the case. Therefore, the method of deriving an effective equation that captures the macroscopic behavior of the particles is of high interest in the mathematical physics community. In this doctoral thesis, we focus on the derivation of an effective time-dependent equation of a macroscopic system consisting of fermions, a type of particle that adhere to Pauli's exclusion principle. In particular, we derive a Vlasov hierarchy from the Schrödinger system with respect to the Husimi measure. Then, we show that under regularized interaction potential, the quantum system converges to Vlasov equation in terms semiclassical limit by using the BBGKY method and Bogoliubov transformation independently. Furthermore, we extend the convergence result to the Vlasov-Poisson equation by considering a truncated Coulomb potential.
Translation of the abstract: Auf der Quantenebene wird die Teilchendynamik in einem System durch Schrödingers Quantenmechanik beschrieben. Bei einer großen Anzahl Teilchen ist die Simulation eines solchen Systems jedoch sehr rechenaufwändig. Daher ist die Ableitung einer effektiven Gleichung, die das Verhalten von Teilchen auf der Makroebene beschreibt, von hohem Interesse in der mathematischen Physik. In dieser Doktorarbeit konzentrieren wir uns auf die Bestimmung (Herleitung?) einer effektiven, zeitabhängigen Gleichung für ein makroskopisches System, bestehend aus Fermionen, die dem Pauli-Prinzip folgen. Insbesondere leiten wir eine Vlasov-Hierarchie aus dem Schrödinger-System in Form eines Husimi-Maßes her. Anschließend zeigen wir, dass das Quantensystem unter regularisiertem Wechselwirkungspotential mit Hilfe der BBGKY-Methode und der Bogoliubov-Transformation zur Vlasov-Gleichung im semiklassischen Limit konvergiert. Außerdem erweitern wir das Konvergenzergebnis auf die Vlasov-Poisson-Gleichung, indem wir ein regularisiertes Coulomb-Potential betrachten. (German)

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