Mean field limit for stochastic particle systems with and without common noise

Nikolaev, Paul

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URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-678804
Document Type:	Doctoral dissertation
Year of publication:	2024
Place of publication:	Mannheim
University:	Universität Mannheim
Evaluator:	Prömel, David
Date of oral examination:	18 September 2024
Publication language:	English
Institution:	School of Business Informatics and Mathematics > Mathematical Finance (Prömel 2019-) School of Business Informatics and Mathematics > Applied Analysis (Chen 2014-)
License:	Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)
Subject:	510 Mathematics
Keywords (English):	mean field limit , propagation of chaos , common noise
Abstract:	In this thesis, we explore mean-field limit theory, focusing on the derivation of non-linear (stochastic) partial differential equations from large systems of interacting stochastic particles. Our goal is to provide a rigorous description of complex interacting systems through their density functions as the number of particles becomes large. A process also known as ``propagation of chaos''. We investigate systems with idiosyncratic noise and those influenced by idiosyncratic and common noise, the latter being particularly relevant in fields like biology and finance. For both types of systems, we demonstrate mean-field limit results, emphasizing the unique challenges and differences in the techniques applicable to each setting. Our primary aim is to handle interaction kernels with low regularity, extending beyond the classical Lipschitz theory.. In the absence of common noise, we focus on moderately interacting particle systems. We illustrate how to combine and extend various techniques such as convergence in probability, the relative entropy method, and the modulated energy method for singular interaction kernels. This includes applications to attractive Keller--Segel models, opinion dynamics, and general sub-Coulomb type kernels. Additionally, we establish well-posedness results for the underlying diffusion-aggregation equations and stochastic differential equations. When considering systems with common noise, we achieve new well-posedness results for conditional McKean--Vlasov stochastic differential equations by solving the associated stochastic partial differential equations and employing a dual argument. Furthermore, we derive explicit bounds on the relative entropy between the conditional Liouville equation and the stochastic Fokker--Planck equation with a bounded and square-integrable interaction kernel. This extends well-known relative entropy results to the setting of common noise, providing a novel conditional propagation of chaos result. Our quantitative findings can serve as a foundation for further analysis of the effects of common noise on interacting particle systems and their fluctuations. This work not only advances theoretical understanding but also offers practical insights into the behavior of complex systems under stochastic influence.
Translation of the abstract:	In dieser Dissertation erforschen wir den sogennanten ``mean-field limit'', wobei der Schwerpunkt auf der Herleitung nichtlinearer (stochastischer) partieller Differentialgleichungen aus stochastischen Interaktionsmodellen liegt. Unser Ziel ist es, dass wenn die Anzahl der Teilchen im Interaktionmodell groß wird, dieses riguros durch eine Dichtefunktion zu beschreiben. Dieser Prozess wird auch ``propagation of chaos'' genannt. Wir untersuchen sowohl Systeme mit idiosynkratischem Rauschen als auch solche, die zusätzlich durch ein gemeinsames Rauschen beeinflusst werden, wobei letzteres besonders in Bereichen wie der Biologie und Finanzen relevant ist. Für beide Arten von Systemen untersuchen wir Grenzwertverhalten im Falle steigender Anzahl an Partikel, wobei wir die Herausforderungen und Unterschiede in den Techniken für die unterschiedlichen Fälle hervorheben und vergeleichen. Unser primäres Ziel ist es, mit Interaktionen niedriger Regularität umzugehen, die über die klassische Lipschitz-Theorie hinausgehen. Dabei konzentrieren wir uns in Abwesenheit vom gemeinsamen Rauchen auf das moderate Regime. Wir veranschaulichen, wie verschiedene Konzepte wie die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, die Methode der relativen Entropie und die modulierte Energiemethode für singuläre Interaktionen kombiniert und erweitert werden können. Dies umfasst Anwendungen auf attraktive Keller-Segel-Modelle, Meinungsdynamiken und allgemeine Sub-Coulomb Interaktionen. Zusätzlich stellen wir Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit der zugrunde liegenden Diffusions-Aggregations-Gleichungen und stochastischen Differentialgleichungen auf. Beim Betrachten von Systemen mit gemeinsamem Rauschen erzielen wir neue Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit für bedingte stochastische McKean-Vlasov Differentialgleichungen, indem wir die zugehörigen stochastischen partiellen Differentialgleichungen lösen und ein duales Argument verwenden. Darüber hinaus leiten wir explizite Schranken für die relative Entropie zwischen der bedingten Liouville Gleichung und der stochastischen Fokker--Planck Gleichung mit einem beschränkten und quadratisch integrierbaren Interaktionskern ab. Dieses Abschätzung erweitert bekannte relative Entropie Ergebnisse auf das Setting des gemeinsamen Rauschens und liefert ein neuartiges bedingtes ``propagation of chaos'' Resultat. Unsere quantitativen Ergebnisse können als Grundlage für weitere Analysen vom gemeinsamem Rauschen auf interagierende Teilchensysteme und deren Fluktuationen dienen. Diese Dissertation fördert nicht nur das theoretische Verständnis, sondern bietet auch praktische Einblicke in das Verhalten komplexer Systeme unter stochastischem Einfluss. (German)