Path integrals of standard Markov processes

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URL:	https://madoc.bib.uni-mannheim.de/58156
URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-581563
Document Type:	Doctoral dissertation
Year of publication:	2020
Place of publication:	Mannheim
University:	Universität Mannheim
Evaluator:	Döring, Leif
Date of oral examination:	16 October 2020
Publication language:	English
Institution:	School of Business Informatics and Mathematics > Probability Theory (Döring 2017-)
Subject:	510 Mathematics
Subject headings (SWD):	Markov-Prozess , Lévy-Prozess , Pfadintegral , Potenzialtheorie
Keywords (English):	Markov process , potential theory , Lévy process , stable process
Abstract:	We consider the law of the perpetual integral of a standard Markov process, deriving sufficient and necessary conditions for finiteness both with positive probability and prob- ability one, and prove a zero-one law. The proofs involve defining the class of super-finite sets and proving several facts about them. Using these results we prove a collection of similar theorems for finite-time path integrals over transient standard Markov processes. We also prove two related results for Lévy processes with local times. Our theorems on path integrals have significance for weak stable SDE solutions, and we construct this connection explicitly, highlighting the way that the solution process behaviour is influenced by the law of the path integrals. We lastly develop a characterisation of avoidable sets for stable processes in the form of a summation test, expanding upon an existing potential theoretic result.
Translation of the abstract:	Wir betrachten die Verteilung des Perpetual Integrals eines Standard-Markov-Prozesses, leiten ausreichende und notwendige Bedingungen für die Endlichkeit sowohl mit positiver Wahrscheinlichkeit als auch mit der Wahrscheinlichkeit eins ab und beweisen ein Zero- One Law. Bei den Beweisen geht es darum, die Klasse der super-finite Mengen zu definieren und mehrere Fakten über sie zu beweisen. Anhand dieser Ergebnisse beweisen wir eine Sammlung ähnlicher Sätze für endliche Path Integrals über transiente Standard-Markov-Prozesse. Wir beweisen auch zwei verwandte Ergebnisse für Lévy-Prozesse mit Local Times. Unsere Sätze über Path Integrals haben Bedeutung für schwach stabile SDE-Lösungen, und wir konstruieren diese Verbindung explizit, indem wir die Art und Weise hervorheben, wie das Verhalten des Lösungsprozesses durch der Path Integrals beeinflusst wird. Zuletzt entwickeln wir eine Charakterisierung vermeidbarer Mengen für stabile Prozesse in Form eines Summationstests, wobei wir auf ein vorhandenes potenzielles theoretisches Ergebnis aufbauen. (German)