Robust stochastic analysis with applications


Prömel, David J.


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DOI: https://doi.org/10.18452/17373
URL: https://madoc.bib.uni-mannheim.de/58463
Additional URL: https://edoc.hu-berlin.de/handle/18452/18025
URN: urn:nbn:de:bsz:180-madoc-584634
Document Type: Doctoral dissertation
Year of publication: 2015
Place of publication: Berlin
University: Humboldt-Universität zu Berlin
Evaluator: Imkeller, Peter
Date of oral examination: 25 September 2015
Publication language: English
Institution: School of Business Informatics and Mathematics > Finanzmathematik (Juniorprofessur) (Prömel 2019-)
Pre-existing license: Creative Commons Namensnennung, nicht kommerziell, keine Bearbeitung 3.0 Deutschland (CC BY-NC-ND 3.0 DE)
Subject: 510 Mathematics
Individual keywords (German): Ito Formel , Modellunsicherheit , FBSDE , Lokalzeiten , Rauhe Differentialgleichungen , Skorokhod'sche Einbettungsproblem
Keywords (English): Rough path , Skorokhod embedding , FBSDE , Ito formula , Local times , Model uncertainty , Rough differential equation
Abstract: In this thesis new robust integration techniques, which are suitable for various problems from stochastic analysis and mathematical finance, as well as some applicationsare presented. We begin with two different approaches to stochastic integration in robust financial mathematics. The first one is inspired by Itô’s integration and based on a certain topology induced by an outer measure corresponding to a minimal superhedging price. The second approach relies on the controlled rough path integral. We prove that this integral is the limit of non-anticipating Riemann sums and that every “typical pricepath” has an associated Itô rough path. For one-dimensional “typical price paths” it is further shown that they possess Hölder continuous local times. Additionally, weprovide various generalizations of Föllmer’s pathwise Itô formula. Recalling that rough path theory can be developed using the concept of controlled paths and with a topology including the information of Lévy’s area, sufficient conditions for the pathwise existence of Lévy’s area are provided in terms of being controlled. This leads us to study Föllmer’s pathwise Itô formulas from the perspectiveof controlled paths. A multi-parameter extension to rough path theory is the paracontrolled distribution approach, recently introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski in [GIP12]. We generalize their approach from Hölder spaces to Besov spaces to solve rough differential equations. As an application we deal with stochastic differential equations driven by random functions. Finally, considering strongly coupled systems of forward and backward stochastic differential equations (FBSDEs), we extend the existence, uniqueness and regularity theory of so-called decoupling fields to Markovian FBSDEs with locally Lipschitz continuous coefficients. These results allow to solve the Skorokhod embedding problemfor a class of Gaussian processes with non-linear drift.
Translation of the abstract: Diese Dissertation präsentiert neue Techniken der Integration für verschiedene Probleme der Finanzmathematik und einige Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zu Beginn entwickeln wir zwei Zugänge zur robusten stochastischen Integration. Der erste, ähnlich der Itô’schen Integration, basiert auf einer Topologie, welche erzeugt wird von einem äußeren Maß, gegeben durch einen minimalen Superreplikationspreis. Der zweite gründet auf der Integrationtheorie für rauhe Pfade. Wir zeigen, dass das entsprechende Integral als Grenzwert von nicht antizipierenden Riemannsummen existiert und dass sich jedem “typischen Preispfad” ein rauher Pfad im Itô’schen Sinnezuordnen lässt. Für eindimensionale “typische Preispfade” wird sogar gezeigt, dass sie Hölder-stetige Lokalzeiten besitzen. Zudem erhalten wir verschiedene Verallgemeinerungen von Föllmer’s pfadweiser Itô-Formel. Die Integrationstheorie für rauhe Pfade kann mit dem Konzept der kontrollierten Pfade und einer Topologie, welche die Information der Lévy-Fläche enthält, entwickelt werden. Deshalb untersuchen wir hinreichende Bedingungen an die Kontrollstruktur für die Existenz der Lévy-Fläche. Dies führt uns zur Untersuchung von Föllmer’s pfadweiser Itô-Formel aus der Sicht kontrollierter Pfade. Para-kontrollierte Distributionen, kürzlich von Gubinelli, Imkeller und Perkowski[GIP12] eingeführt, erweitern die Theorie rauher Pfade auf den Bereich von mehrdimensionale Parameter. Wir verallgemeinern diesen Ansatz von Hölder’schen auf Besov-Räume, um rauhe Differentialgleichungen zu lösen, und wenden die Ergebnisseauf stochastische Differentialgleichungen an. Zum Schluß betrachten wir stark gekoppelte Systeme von stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDEs) und erweitern die Theorie der Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der sogenannten Entkopplungsfelder auf Markovsche FBSDEs mit lokal Lipschitz-stetigen Koeffizienten. Als Anwendung wird das Skorokhodsche Einbettungsproblem für Gaußsche Prozesse mit nichtlinearem Drift gelöst. (German)

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Dieser Datensatz wurde nicht während einer Tätigkeit an der Universität Mannheim veröffentlicht, dies ist eine Externe Publikation.




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ORCID: Prömel, David J. ORCID: 0000-0001-7028-7500

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