Spline Interpolation , Schoenberg-Whitney Theorem , Multistep Formula , Newton-Type Interpolation Formula
Abstract:
One of the fundamental results in spline interpolation theory is the famous Schoenberg-Whitney Theorem, which completely characterizes those distributions of interpolation points which admit unique interpolation by splines. However, until now there exists no iterative algorithm for the explicit computation of the interpolating spline function, and the only practicable method to obtain this function is to solve explicitly the corresponding system of linear equation's. In this paper we suggest a method which computes iteratively the coefficients of the interpolating function in its B-spline basis representation; the starting values of our one-step iteration scheme are quotients of two low order determinants in general,and sometimes even just of two real numbers. Furthermore, we present a generalization of Newton's interpolation formula for polynomials to the case of spline interpolation, which corresponds to a result of G. Mühlbach for Haar spaces.
Translation of the title:
In Richtung eines iterativen Spline-Interpolationsalgorithmus
(English)
Translation of the abstract:
Eines der fundamentalen Resultate in der Spline-Interpolations-Theorie ist der berühmte Satz von Schoenberg-Whitney, der eine vollständige Charakterisierung derjenigen Verteilungen von Punkten angibt, welche eindeutige Interpolation durch Splines zulassen. Allerdings gibt es bisher keinen iterativen Algorithmus zur expliziten Berechnung der interpolierenden Splinefunktion, und die einzig praktikable Methode zur Gewinnung dieser. Funktion ist die explizite Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems. In dieser Arbeit schlagen wir eine Methode vor, die auf iterative Weise die Koeffizienten des interpolierenden Splines in seiner B-Spline-Basis Darstellung berechnet. Die Startwerte unseres Einschritt-Iterationsverfahrens sind Quotienten zweier Determinanten von, im allgemeinen Fall, kleiner Reihenzahl, und in manchen Fällen sogar nur von zwei reellen Zahlen. Weiterhin geben wir eine Verallgemeinerung von Newton's Interpolationsformel für Polynome auf den Fall der Spline-Interpolation an, die einem Resultat von G. Mühlbach für den Haarschen Fall entspricht.
(English)
Additional information:
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