Periodic solutions of the sinh-Gordon equation and integrable systems

Knopf, Markus

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URL:	https://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/34704
URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-347040
Document Type:	Doctoral dissertation
Year of publication:	2013
Place of publication:	Mannheim
Publishing house:	Univ.
University:	Universität Mannheim
Evaluator:	Schmidt, Martin
Date of oral examination:	25 October 2013
Publication language:	English
Institution:	School of Business Informatics and Mathematics > Geometrische Analysis (Schmidt, M. 2004-)
Subject:	510 Mathematics
Subject headings (SWD):	Mathematik , Dynamisches System , Differentialgeometrie
Keywords (English):	Mathematics , Sinh-Gordon equation , integrable systems
Abstract:	The elliptic sinh-Gordon equation arises in the context of particular surfaces of constant mean curvature. With the help of differential geometric considerations the space of periodic solutions is parametrized by means of spectral data consisting of a Riemann surface Υ and a divisor D. It is investigated if the space M ρ g of real periodic finite type solutions with fixed period ρ can be considered as a completely integrable system (M ρ g , Ω, H2) with a symplectic form Ω and a series of commuting Hamiltonians (Hn)n∈N0 . In particular we relate the gradients of these Hamiltonians to the Jacobi fields (ωn)n∈N0 from the Pinkall-Sterling iteration. Moreover, a connection between the symplectic form and Serre duality is established.
Translation of the title:	Periodische Lösungen der sinh-Gordon-Gleichung und integrable Systeme (German)
Translation of the abstract:	Die elliptische sinh-Gordon-Gleichung steht im Zusammenhang zu bestimmten Flächen konstanter mittlerer Krümmung. Mithilfe differentialgeometrischer Uberlegungen lässt sich der Raum der periodischen Lösungen durch Spektraldaten, bestehend aus einer Riemannschen Fläche Υ und einem Divisor D, parametrisieren. Es wird untersucht, ob der Raum M ρ g der reellen periodischen Lösungen von endlichem Typ mit festgehaltener Periode ρ als ein vollständig integrables System (M ρ g , Ω, H2) mit einer symplektischen Form Ω und einer Folge kommutierender Hamiltonfunktionen (Hn)n∈N0 aufgefasst werden kann. Insbesondere werden die Gradienten dieser Hamiltonfunktionen mit den Jacobifeldern (ωn)n∈N0 aus der Pinkall-Sterling-Iteration in Beziehung gebracht. Außerdem wird eine Verbindung zwischen der symplektischen Form und der Serre-Dualität hergestellt. (German)