On the isospectral problem of Fermi curves of two-dimensional doubly periodic Schrödinger operators
Simon, Tobias
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URL:
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https://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/49037
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URN:
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urn:nbn:de:bsz:180-madoc-490370
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Dokumenttyp:
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Dissertation
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Erscheinungsjahr:
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2018
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Ort der Veröffentlichung:
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Mannheim
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Hochschule:
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Universität Mannheim
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Gutachter:
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Schmidt, Martin
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Datum der mündl. Prüfung:
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18 März 2019
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Sprache der Veröffentlichung:
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Englisch
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Einrichtung:
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Fakultät für Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik > Geometrische Analysis (Schmidt, M. 2004-)
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Fachgebiet:
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510 Mathematik
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Normierte Schlagwörter (SWD):
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Mathematik , Schrödinger-Gleichung , Mathematische Physik
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Freie Schlagwörter (Englisch):
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Mathematics , Schrödinger operator , Fermi curve , isospectral set
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Abstract:
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The aim of this thesis is to parameterize the isospectral set Iso(u0) for smooth Fermi
curves of two-dimensional Schrödinger operators with doubly periodic real-valued L2-
potential u0 defined on R2. This isospectral set is the set of all real-valued doubly periodic
L2-potentials u whose Fermi curve F(u) equals the given Fermi curve F(u0). Our
thesis essentially consists of two parts. The first part solves the isospectral problem
asymptotically by investigating those part of the Fermi curve outside a sufficiently
large compact set in C2. In this asymptotic setting, the so-called perturbed Fourier
coefficients will serve as suitable coordinates for the potentials. We parameterize the
asymptotic isospectral set by constructing a homeomorphism mapping it onto a topological
space Iso~(u0), where Iso~(u0) can be explicitly determined. The second part
of the thesis connects the asymptotic part with the so far neglected compact part of
the Fermi curve. Under an additional boundedness assumption on Iso(u0), we show
that Iso(u0) is homeomorphic to a Cartesian product Iso(u1)xIso~(u0), where u1 is
a potential of finite type. For unbounded isospectral sets, we will show an analogous
but weaker result. In the entire thesis, we use the so-called moduli m(u) in order to
describe the isospectral sets. These moduli are l1-sequences. We finally show that each
Fermi curve F(u) is uniquely determined by its moduli m(u). In particular, the moduli
are invariants of the isospectral set.
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Übersetzter Titel:
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Über das isospektrale Problem von Fermikurven zweidimensionaler doppeltperiodischer Schrödinger-Operatoren
(Deutsch)
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Übersetzung des Abstracts:
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Das Ziel dieser Arbeit ist die Parametrisierung der Isospektralmenge Iso(u0) für glatte
Fermikurven zweidimensionaler Schrödinger-Operatoren mit doppeltperiodischem auf R2 definiertem reellwertigem
L2-Potential u0. Diese Isospektralmenge ist die Menge aller reellwertigen
doppeltperiodischen L2-Potentiale u, deren Fermikurve F(u) gleich der gegebenen
Kurve F(u0) ist. Unsere Arbeit besteht im Wesentlichen aus zwei Teilen. Der
erste Teil löst das isospektrale Problem asymptotisch, indem man jenen Teil der Fermikurve
außerhalb eines hinreichend großen Kompaktums in C2 untersucht. In diesem
asymptotischen Szenario werden die so genannten gestörten Fourierkoeffizienten als
geeignete Koordinaten für die Potentiale dienen. Wir parametrisieren die asymptotische
Isospektralmenge, indem wir einen Homöomorphismus von ihr auf einen topologischen
Raum Iso~(u0) konstruieren, wobei Iso~(u0) explizit bestimmt werden kann.
Der zweite Teil der Arbeit verknüpft den asymptotischen Teil mit dem bisher vernachlässigten kompakten Teil der Fermikurve. Unter einer zusätzlichen Beschränktheitsvoraussetzung
an Iso(u0) zeigen wir, dass Iso(u0) homöomorph zu einem kartesischen
Produkt Iso(u1)xIso~(u0) ist, wobei u1 ein finite type Potential ist. Für unbeschränkte
Isospektralmengen werden wir ein analoges, jedoch schwächeres Resultat zeigen. In der
gesamten Arbeit benutzen wir die so genannten Moduli m(u), um die Isospektralmengen
zu beschreiben. Diese Moduli sind l1-Folgen. Wir zeigen schließlich, dass jede
Fermikurve F(u) eindeutig durch ihre Moduli m(u) bestimmt ist. Insbesondere sind
die Moduli Invarianten der Isospektralmenge.
(Deutsch)
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