Weak and strong approximation of the Log-Heston model by Euler-Type methods and related topics


Mickel, Annalena


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URN: urn:nbn:de:bsz:180-madoc-641537
Document Type: Doctoral dissertation
Year of publication: 2023
Place of publication: Mannheim
University: Universität Mannheim
Evaluator: Neuenkirch, Andreas
Date of oral examination: 17 March 2023
Publication language: English
Institution: School of Business Informatics and Mathematics > Wirtschaftsmathematik II: Stochastische Numerik (Neuenkirch 2013-)
Subject: 510 Mathematics
Keywords (English): Heston model , CIR process , discretization schemes for SDEs , optimal approximation
Abstract: This thesis deals with the weak and strong numerical approximation of so-called stochastic volatility models. In particular, the focus is on the log-Heston model and its associated Euler methods, for which there have been only a few convergence results with a polynomial rate in the literature so far. The biggest challenge here is the approximation of the CIR process, which models the stochastic variance and whose diffusion coefficient is not Lipschitz continuous. We first study the weak order of convergence of two Euler methods that keep the approximation of the CIR process positive. When the Feller index ν of the CIR process is greater than one, weak convergence of order one is obtained as under standard assumptions. For ν ≤ 1 we obtain a weak order of convergence of ν − ε for ε > 0 arbitrarily small. For the L1-error for a large class of Euler methods, we can recover the order 1/2 obtained under standard assumptions under the condition ν > 1. Moreover, we prove that this is already the optimal L1-convergence order for the log-Heston model. Finally, in the last part of this dissertation we deal with the optimal L2 approximation of more general stochastic volatility models.
Translation of the abstract: Diese Dissertation befasst sich mit der schwachen und starken numerischen Approximation von sogenannten Stochastischen Volatilitätsmodellen. Im Fokus stehen hierbei konkret das log-Heston-Modell und die zugehörigen Euler-Verfahren, für die es in der Literatur bisher nur weniger Konvergenzresultate mit polynomieller Rate gab. Die größte Herausforderung stellt hierbei die Approximation des CIR-Prozesses dar, welcher die stochastische Varianz modelliert und dessen Diffusionskoeffizient nicht Lipschitz-stetig ist. Wir untersuchen zunächst die schwache Konvergenzordnung von zwei Euler-Verfahren, die die Approximation des CIR-Prozesses positiv halten. Wenn der Feller-Index ν des CIR-Prozesses größer als eins ist, so ergibt sich eine schwache Konvergenz der Ordnung eins wie unter Standardannahmen. Für ν ≤ 1 erhalten wir eine schwache Ordnung von ν − ε für ε > 0 beliebig klein. Für den L1 Fehler können wir für eine große Klasse von Euler-Verfahren die Ordnung 1/2, die unter Standardannahmen erreicht wird, unter der Bedingung ν > 1 wiederherstellen. Zudem beweisen wir, dass dies bereits die optimale L1-Konvergenzrate für das log-Heston Modell ist. Im letzten Teil dieser Dissertation beschäftigen wir uns schließlich mit der optimalen L2-Approximation von allgemeineren Stochastischen Volatilitätsmodellen. (German)




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