Well-posedness of stochastic Volterra equations with non-Lipschitz coefficients

Scheffels, David

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URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-664829
Dokumenttyp:	Dissertation
Erscheinungsjahr:	2023
Ort der Veröffentlichung:	Mannheim
Hochschule:	Universität Mannheim
Gutachter:	Prömel, David
Sprache der Veröffentlichung:	Englisch
Einrichtung:	Fakultät für Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik > Mathematical Finance (Prömel 2019-)
Lizenz:	Creative Commons Namensnennung 4.0 International (CC BY 4.0)
Fachgebiet:	510 Mathematik
Freie Schlagwörter (Englisch):	Stochastic Volterra equation , pathwise uniqueness , non-Lipschitz coefficients , semimartingale , strong solution , Yamada-Watanabe
Abstract:	The main focus of this doctoral thesis is to consider stochastic Volterra equations (SVEs), where the diffusion coeffcients are only Hölder continuous of order 1/2, and to prove well-posedness results for these equations, i.e. that they possess a pathwise unique strong solution. We start with the well-posedness for SVEs with suffciently regular kernels by proving strong existence and pathwise uniqueness directly by adapting techniques from the well- known theory for stochastic differential equations (SDEs). Afterwards, we consider more general kernels including singular kernels and introduce a general Volterra local martingale problem. Using this, we are able to prove the weak existence of solutions to SVEs with continuous coeffcients and with regular or convolutional, possibly singular, diffusion kernels. Next, and constituting the major part of this thesis, we consider explicitly SVEs with the fractional kernel K(s, t) = (t−s)−α, where α ∈ [0, 1/2), in the drift and the diffusion, and prove pathwise uniqueness for these equations under a mild condition on the relationship of the intensity of the singularity of the kernels, i.e. on α, and the Hölder regularity of the diffusion coeffcient. Together with the weak existence, this implies the well-posedness of the equation by the famous Yamada-Watanabe theorem. To round off the work, we look at two more interesting topics. First, we introduce the class of Mean-field stochastic Volterra equations which merge two generalizations of classical SDEs, both of which have received a lot of attention recently, namely SVEs and mean-field SDEs, also referred to as McKean-Vlasov SDEs. For these equations, we prove the well-posedness and a quantitative, pointwise propagation of chaos result of Volterra-type systems of interacting particles. We do that in two settings, firstly, for finite-dimensional equations with general kernels and Lipschitz continuous coeffcients, and secondly, for one-dimensional equations with regular or convolutional kernels and up to 1/2-Hölder continuous diffusion coeffcients. Last, we introduce neural stochastic Volterra equations (neural SVEs) which is a model that is able to learn the dynamics of an SVE by a deep learning structure, inspired by the recently emerged model of neural SDEs.
Übersetzter Titel:	Existenz und Eindeutigkeit von stochastischen Volterra Gleichungen mit nicht-Lipschitz stetigen Koeffizienten (Deutsch)
Übersetzung des Abstracts:	In dieser Thesis beschäftigen wir uns mit stochastischen Volterra Gleichungen (SVEs), bei denen die Diffusionskoeffzienten nur Hölder stetig mit Ordnung 1/2 sind, und beweisen so-genannte Well-posedness Resultate für diese Gleichungen, d.h. untersuchen, unter welchen Umständen sie eine pfadweise eindeutige starke Lösung besitzen. Wir beginnen mit der Well-posedness für SVEs, bei denen die Kerne regulär sind, und zeigen für diese die starke Existenz und pfadweise Eindeutigkeit von Lösungen durch Anpassen wohlbekannter Techniken für stochastische Differentialgleichungen (SDEs). Anschließend betrachten wir allgemeinere Kerne, die insbesondere auch Singularitäten beinhalten dürfen, und führen ein lokales Volterra Martingalproblem ein. Mithilfe dieses zeigen wir die schwache Existenz von Lösungen zu SVEs mit stetigen Koeffzienten und regulären Kernen oder Faltungskernen, die singulär sein dürfen, in der Diffusion. Danach kommen wir zum Hauptkapitel dieser Thesis, in welchem wir explizit SVEs mit dem fraktionalen Kern K(s, t) = (t − s)−α, wobei α ∈ [0, 1/2), in Drift und Diffusion betrachten, und zeigen pfadweise Eindeutigkeit für diese Gleichungen unter einer milden Annahme an die Beziehung zwischen der Intensität der Singularität der Kerne, also α, und der Hölder Regularität des Diffusionskoeffzienten. Zusammen mit der schwachen Existenz impliziert dies die Well-posedness der Gleichung nach dem berühmten Resultat von Yamada und Watanabe. Um die Thesis abzurunden, betrachten wir zwei weitere interessante Themengebiete. Als erstes führen wir die Klasse von Mean-field stochastischen Volterra Gleichungen ein, welche eine Verallgemeinerung von SVEs und den sogenannten Mean-field SDEs darstellen. Beide Arten von Gleichungen haben in den letzten Jahren eine große Popularität erfahren. Wir zeigen die Well-posedness sowie ein quantitatives, punktweises Propagation of Chaos Resultat für Systeme vom Volterra-Typ, die die Interaktion von Partikeln modellieren. Dies tun wir in zwei verschiedenen Situationen, zunächst für endlich-dimensionale Gleichungen mit allgemeinen Kernen und Lipschitz stetigen Koeffzienten, und anschließend für ein-dimensionale Gleichungen mit regulären Kernen oder Faltungskernen und bis zu 1/2-Hölder stetigen Diffusionskoeffzienten. Abschlieÿend führen wir neuronale stochastische Volterra Gleichungen ein, welche die Dynamiken von SVEs durch neuronale Strukturen lernen können, und inspiriert sind durch die kürzlich eingeführten neuronalen SDE Modelle. (Deutsch)