Approximation and stability in rough analysis with applications to mathematical finance

Kwossek, Anna Paula

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URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-700016
Dokumenttyp:	Dissertation
Erscheinungsjahr:	2025
Ort der Veröffentlichung:	Mannheim
Hochschule:	Universität Mannheim
Gutachter:	Prömel, David
Datum der mündl. Prüfung:	2025
Sprache der Veröffentlichung:	Englisch
Einrichtung:	Fakultät für Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik > Mathematical Finance (Prömel 2019-)
Fachgebiet:	510 Mathematik
Freie Schlagwörter (Englisch):	rough paths , pathwise integration , rough differential equations , rough functional differential equations , Euler scheme , portfolio theory , robust finance , neural stochastic differential equations , universal approximation , Itô-type signatures
Abstract:	In this thesis we use and develop the mathematical framework of rough and stochastic analysis to deal with various aspects of approximation and stability that are particularly relevant for and motivated by applications in mathematical finance, machine learning, and numerical analysis. We begin with addressing the widespread use of stochastic differential equations in which the drift and diffusion function are represented by neural networks, and provide a rigorous verification of their universal approximation property. The theory of rough paths is known to provide a fully pathwise and robust solution theory to stochastic differential equations, which we exploit and contribute to as follows: We study the well-posedness of rough differential equations with path-dependent coefficients and driven by càdlàg rough paths providing a unifying theory for the pathwise analysis of stochastic functional differential equations. Subsequently, we assume a path property which implies a suitable canonical rough path lift such that the rough integral exists as a limit of left-point Riemann sums. We examine this further and present a transparent pathwise convergence analysis for the first order Euler scheme of stochastic differential equations that has been inexplicable from the rough path perspective so far. This line of research is continued in the context of mathematical finance under model uncertainty when we investigate the pathwise stability and approximation properties of optimal portfolios. To gain a deeper understanding, we explain and generalize the aforementioned path property, and prove that the rough integral exists under this assumption as a limit of general Riemann sums. Based on this approach, we lastly bridge the gap between Itô integration and universal approximation with signatures.
Übersetzung des Abstracts:	Diese Dissertation befasst sich mit Aspekten der Approximation und Stabilität in der stochastischen und der rauen Analysis, die insbesondere in der Finanzmathematik, im maschinellen Lernen und in der numerischen Analysis thematisiert werden. Zunächst betrachten wir stochastische Differentialgleichungen, bei denen der Drift- und der Diffusionskoeffizient durch neuronale Netze gegeben sind, und zeigen deren theoretische universelle Approximationseigenschaft. Die Theorie der rauen Pfade liefert eine vollständig pfadweise und robuste Lösungstheorie für stochastische Differentialgleichungen, der wir uns wie folgt annehmen: Wir untersuchen die Wohlgestelltheit rauer Differentialgleichungen mit pfadabhängigen Koeffizienten und getrieben von càdlàg rauen Pfaden und formulieren somit einen vereinheitlichenden Ansatz für die pfadweise Analyse stochastischer verzögerter Differentialgleichungen. Im Folgenden wird eine Pfadeigenschaft angenommen, sodass das raue Integral als Grenzwert linksseitiger Riemannsummen gegeben ist. Darauf basierend präsentieren wir eine transparente pfadweise Konvergenzanalyse für das Euler-Verfahren erster Ordnung für stochastische Differentialgleichungen, welche die Theorie der rauen Pfade bisher nicht bieten konnte. Darüber hinaus wenden wir uns dem finanzmathematischen Problem der Modellunsicherheit zu und untersuchen pfadweise Stabilität und Approximationseigenschaften optimaler Portfolios. Zudem beleuchten und verallgemeinern wir die oben genannte Pfadeigenschaft und zeigen, dass das raue Integral folglich als Grenzwert genereller Riemannsummen existiert. Schließlich wird dieser Integralbegriff verwendet, um ein Verständnis für den Zusammenhang von Itô-Integration und der universellen Approximation mit Signaturen zu erlangen. (Deutsch)