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Invariante Deformationsquantisierung und Quantenimpulsabbildungen
Müller-Bahns, Michael
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URL:
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https://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/336
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URN:
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urn:nbn:de:bsz:180-madoc-3364
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Document Type:
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Doctoral dissertation
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Year of publication:
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2003
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The title of a journal, publication series:
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None
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Place of publication:
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Mannheim
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Publishing house:
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Universität Mannheim
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University:
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Universität Mannheim
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Evaluator:
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Schlichenmaier, Martin (Apl.)
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Date of oral examination:
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26 April 2004
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Publication language:
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German
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Institution:
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School of Business Informatics and Mathematics > Mathematik V (Potthoff -2020)
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Subject:
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510 Mathematics
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Classification:
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MSC:
53D55 53D ,
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Subject headings (SWD):
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Quantisierung <Physik> , Symplektische Geometrie , Kähler-Geometrie , Deformationsquantisierung , Äquivariante Kohomologietheorie
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Individual keywords (German):
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Fedosov Konstruktion , Sternprodukte vom Wick-Typ , Klassifikation invarianter Sternprodukte
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Keywords (English):
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Fedosov Construction , star products of Wick-Type , classification of invariant star products
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Abstract:
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Ein zentrales Problem, das in allen Theorien der Quantisierung auftritt, ist die Behandlung klassischer Symmetrien. Im Rahmen der Deformationsquantisierung besteht dieses Problem darin herauszufinden, unter welchen Bedingungen Wirkungen von Liegruppen bzw. Liealgebren durch Symplektomorphismen bzw. Hamiltonsche Vektorfelder auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit Automorphismen bzw. Derivationen eines sogenannten Sternprodukts induzieren. Ist dies der Fall, so heißt das betrachtete Sternprodukt invariant. In dieser Arbeit werden sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingungen für die Invarianz aller verallgemeinerten Fedosov-Sternprodukte auf symplektischen Mannigfaltigkeiten und aller Sternprodukte vom Wick-Typ auf Pseudo-Kählermannigfaltigkeiten hergeleitet. Invariante Sternprodukte vom Wick-Typ werden vollständig kohomologisch klassifiziert. Ist ein Sternprodukt invariant, so ergibt sich die wichtige Frage, welche der Derivationen innere sind. Eine formale Funktion, welche derartige Derivationen erzeugt, heißt Quanten-Hamiltonfunktion. Erfüllt sie zusätzlich eine bestimmte Äquivarianzbedingung, so wird sie eine Quantenimpulsabbildung genannt. Es werden für alle obengenannten Sternprodukte notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit von Quanten-Hamiltonfunktionen und Quantenimpulsabbildungen zu einem invarianten Sternprodukt hergeleitet. Diese Bedingungen stellen eine natürliche Deformation der entsprechenden Bedingungen der klassischen Mechanik dar. Im Fall von Liegruppen-Wirkungen werden die invarianten Sternprodukte mit Quantenimpulsabbildung durch formale Reihen äquivariant geschlossener de Rham Zweiformen klassifiziert. Insbesondere gibt es zu einem invarianten Sternprodukt und gegebener klassischer Impulsabbildung nicht immer eine Quantenimpulsabbildung. Da die Existenz von Quantenimpulsabbildungen wesentlich für die Übertragung der Phasenraumreduktion in die Deformationsquantisierung ist, ist somit in vielen Fällen die Vertauschbarkeit von Quantisierung und Reduktion ausgeschlossen.
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Translation of the title:
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Invariant Deformation Quantization and Quantum Momentum Mappings
(English)
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Translation of the abstract:
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One of the crucial problems one encounters in all theories of quantization is the implementation of classical symmetries. Within the approach of deformation quantization, this problem amounts to deciding under which conditions an action of a Liegroup or Liealgebra by symplectomorphisms or symplectic vector fields, respectively, induces automorphisms or derivations of a so-called star product. If this is fulfilled, the star product is called invariant. In this thesis, necessary and sufficient conditions for this property are derived for all generalized Fedosov-star products on symplectic manifolds and for all star products of Wick-Type on pseudo-Kähler manifolds. A complete cohomological classification of invariant star products of Wick-Type is given. If a star product is invariant, another important question is which of the derivations are inner ones. A formal function generating such an inner derivation is called a quantum Hamiltonian. If a quantum Hamiltonian enjoys a certain equivariance property then it is called a quantum momentum mapping (or quantum moment map). Necessary and sufficient conditions for an invariant star product to admit a quantum Hamiltonian or even a quantum momentum mapping and for these objects to be unique are derived in all of the above-mentioned cases. The conditions given are natural deformations of the corresponding conditions known from classical mechanics. In the case of the action of a Liegroup, invariant star products admitting a quantum momentum mapping are classified by formal equivariantly closed de Rham two-forms. In particular, not every invariant star product for which there is a classical momentum mapping admits a quantum momentum mapping. Since the existence of quantum momentum mappings is an essential prerequisite for the theory of reduction in deformation quantization, this result provides a large class of examples where quantization and reduction cannot commute.
(English)
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Additional information:
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 | Das Dokument wird vom Publikationsserver der Universitätsbibliothek Mannheim bereitgestellt. |
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