Concentration inequalities for Poisson point processes with applications to non-parametric statistics

Kroll, Martin

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URL:	https://madoc.bib.uni-mannheim.de/41955
URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-419555
Dokumenttyp:	Dissertation
Erscheinungsjahr:	2017
Ort der Veröffentlichung:	Mannheim
Hochschule:	Universität Mannheim
Gutachter:	Schlather, Martin
Datum der mündl. Prüfung:	22 März 2017
Sprache der Veröffentlichung:	Englisch
Einrichtung:	Fakultät für Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik > Applied Stochastics (Schlather 2012-)
Fachgebiet:	510 Mathematik
Fachklassifikation:	MSC: 60E15; 60G55; 62G05,
Normierte Schlagwörter (SWD):	Punktprozess , Nichtparametrische Schätzung
Freie Schlagwörter (Englisch):	Poisson point process , concentration inequality , intensity estimation , nonparametric estimation , minimax theory , adaptive estimation , statistical inverse problem
Abstract:	In the first part of this thesis we derive new concentration inequalities for maxima of empirical processes associated with independent but not necessarily identically distributed Poisson point processes. The proofs are based on a careful application of Ledoux's entropy method. In the second part of the thesis, we show potential applications of the concentration results derived in the first part to non-parametric statistics: we consider intensity estimation for Poisson point processes from direct (Chapter 3) and indirect (Chapter 4) observations and non-parametric Poisson regression (Chapter 5). For all the considered models we develop a minimax theory (upper and lower bounds) under abstract smoothness assumptions on the unknown functional parameter. We study projection estimators in terms of trigonometric basis functions. The performance of these estimators crucially depends on the choice of a dimension parameter. For all our applications, we propose a fully data-driven selection of the dimension parameter based on model selection. The resulting adaptive estimators either attain optimal rates of convergence or are suboptimal only by a logarithmic factor.
Übersetzung des Abstracts:	Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit leiten wir neue Konzentrationsungleichungen für Maxima von empirischen Prozessen assoziiert zu unabhängigen, aber nicht notwendigerweise identisch verteilten Poissonschen Punktprozessen her. Die Beweise basieren auf einer Anwendung von Ledoux' Entropie-Methode. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir mögliche Anwendungen der Konzentrationsresultate aus dem ersten Teil in der nichtparametrischen Statistik: Wir betrachten Intensitätsschätzung für Poissonsche Punktprozesse ausgehend von direkten (Kapitel 3) und indirekten (Kapitel 4) Beobachtungen sowie nichtparametrische Poisson-Regression (Kapitel 5). Für alle betrachteten Modelle entwickeln wir eine Minimax-Theorie (obere und untere Schranken) unter abstrakten Glattheitsannahmen an den unbekannten funktionalen Parameter. Wir betrachten Projektionsschätzer basierend auf trigonometrischen Basisfunktionen. Die Güte dieser Schätzer hängt entscheidend von der Wahl eines Dimensionsparameters ab. Für alle betrachteten Anwendungen schlagen wir, basierend auf Modellwahl, eine rein datengetriebene Wahl des Dimensionsparameters vor. Die daraus resultierenden adaptiven Schätzer nehmen entweder die optimale Konvergenzrate an oder sind suboptimal um lediglich einen logarithmischen Faktor. (Deutsch)