Concentration inequalities for Poisson point processes with applications to non-parametric statistics


Kroll, Martin


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URL: https://ub-madoc.bib.uni-mannheim.de/41955
URN: urn:nbn:de:bsz:180-madoc-419555
Document Type: Doctoral dissertation
Year of publication: 2017
Place of publication: Mannheim
University: Universität Mannheim
Evaluator: Schlather, Martin
Date of oral examination: 22 March 2017
Publication language: English
Institution: School of Business Informatics and Mathematics > Mathematische Statistik (Schlather 2012-)
Subject: 510 Mathematics
Classification: MSC: 60E15; 60G55; 62G05,
Subject headings (SWD): Punktprozess , Nichtparametrische Schätzung
Keywords (English): Poisson point process , concentration inequality , intensity estimation , nonparametric estimation , minimax theory , adaptive estimation , statistical inverse problem
Abstract: In the first part of this thesis we derive new concentration inequalities for maxima of empirical processes associated with independent but not necessarily identically distributed Poisson point processes. The proofs are based on a careful application of Ledoux's entropy method. In the second part of the thesis, we show potential applications of the concentration results derived in the first part to non-parametric statistics: we consider intensity estimation for Poisson point processes from direct (Chapter 3) and indirect (Chapter 4) observations and non-parametric Poisson regression (Chapter 5). For all the considered models we develop a minimax theory (upper and lower bounds) under abstract smoothness assumptions on the unknown functional parameter. We study projection estimators in terms of trigonometric basis functions. The performance of these estimators crucially depends on the choice of a dimension parameter. For all our applications, we propose a fully data-driven selection of the dimension parameter based on model selection. The resulting adaptive estimators either attain optimal rates of convergence or are suboptimal only by a logarithmic factor.
Translation of the abstract: Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit leiten wir neue Konzentrationsungleichungen für Maxima von empirischen Prozessen assoziiert zu unabhängigen, aber nicht notwendigerweise identisch verteilten Poissonschen Punktprozessen her. Die Beweise basieren auf einer Anwendung von Ledoux' Entropie-Methode. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir mögliche Anwendungen der Konzentrationsresultate aus dem ersten Teil in der nichtparametrischen Statistik: Wir betrachten Intensitätsschätzung für Poissonsche Punktprozesse ausgehend von direkten (Kapitel 3) und indirekten (Kapitel 4) Beobachtungen sowie nichtparametrische Poisson-Regression (Kapitel 5). Für alle betrachteten Modelle entwickeln wir eine Minimax-Theorie (obere und untere Schranken) unter abstrakten Glattheitsannahmen an den unbekannten funktionalen Parameter. Wir betrachten Projektionsschätzer basierend auf trigonometrischen Basisfunktionen. Die Güte dieser Schätzer hängt entscheidend von der Wahl eines Dimensionsparameters ab. Für alle betrachteten Anwendungen schlagen wir, basierend auf Modellwahl, eine rein datengetriebene Wahl des Dimensionsparameters vor. Die daraus resultierenden adaptiven Schätzer nehmen entweder die optimale Konvergenzrate an oder sind suboptimal um lediglich einen logarithmischen Faktor. (German)

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Kroll, Martin (2017) Concentration inequalities for Poisson point processes with applications to non-parametric statistics. Open Access Mannheim [Doctoral dissertation]
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