Implications of Markov stability theory for nonparametric statistics, Markov additive fluctuations and data-driven stochastic control

Trottner, Lukas

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URL:	https://madoc.bib.uni-mannheim.de/60553
URN:	urn:nbn:de:bsz:180-madoc-605538
Dokumenttyp:	Dissertation
Erscheinungsjahr:	2021
Ort der Veröffentlichung:	Mannheim
Hochschule:	Universität Mannheim
Gutachter:	Döring, Leif
Datum der mündl. Prüfung:	24 September 2021
Sprache der Veröffentlichung:	Englisch
Einrichtung:	Fakultät für Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik > Probability Theory (Döring 2017-)
Fachgebiet:	510 Mathematik
Freie Schlagwörter (Englisch):	nonparametric statistics , Markov processes , mixing , Lévy processes , Markov additive processes , fluctuation theory , data-driven stochastic optimal control
Abstract:	The central topic of this thesis is the influence of stability properties of continuous time Markov processes on their nonparametric statistical analysis. In particular sup-norm adaptive invariant density estimation under assumptions on the ergodic behavior of the process is investigated and consequently applied to jump diffusions with Lévy-driven jump part. Furthermore, the findings are used to demonstrate how statistical procedures for Markov processes can be implemented for the development of efficient data-driven strategies for stochastic optimal control problems associated to both continuous diffusion processes and Lévy processes. As one of the main theoretical tools in this regard, we give a detailed analysis of stability properties of overshoots associated to Markov additive processes. This allows incorporating fluctuation theory for Markov additive processes and Lévy processes into our general statistical framework, which is essential for the data-driven Lévy control strategy. Moreover, the overshoot analysis guides us naturally into extending some well-known fluctuation results for Lévy processes to the more general case of Markov additive processes and—making use of the one-to-one correspondence between Markov additive processes and real self-similar Markov processes through the Lamperti–Kiu transform—gives us the right tool to analyze the mixing behavior of self-similar Markov processes sampled at first hitting times.
Übersetzung des Abstracts:	Zentrales Thema dieser Arbeit ist der Einfluss von Stabilitätseigenschaften zeitstetiger Markov- prozesse auf ihre nichtparametrische statistische Analyse. Insbesondere betrachten wir die adaptive Schätzung der invarianten Verteilung bezüglich des sup-Norm Risikos unter Annahmen an das ergodische Verhalten des Prozesses und wenden die Resultate auf Diffusionen mit Lévy- gesteuerter Sprungkomponente an. Wir nutzen unsere Ergebnisse, um datengesteuerte statistis- che Ansätze für Lösungsstrategien stochastischer optimaler Kontrollprobleme sowohl für stetige Diffusionen als auch für Lévyprozesse zu entwickeln. Als eine der fundamentalen theoretischen Entwicklungen in dieser Hinsicht, geben wir eine detaillierte Analyse des Stabilitätsverhaltens von Overshoots von Markov additiven Prozessen, was uns gestattet Fluktuationstheorie für Lévyprozesse und Markov additive Prozesse in unseren allgemeinen statistischen Rahmen einzu- betten. Zudem motiviert uns die Overshoot-Analyse dazu, einige zentrale Fluktuationsresultate für Lévyprozesse auf den allgemeineren Fall Markov additiver Prozesse zu erweitern. Schließlich erlauben es unsere Overshoot Resultate ebenso, das Mixingverhalten reeller selbstähnlicher Markovprozesse, die an Ersteintrittszeiten ausgewertet werden, zu analysieren. Dazu nutzen wir die bijektive Beziehung zwischen dieser Prozessklasse mit Markov additiven Prozessen, die durch die Lamperti–Kiu Transformation beschrieben wird. (Deutsch)